--- note_type: source state: seed created: 2026-10-08 aliases: - 沪教版教参必修第三册·第12章 tags: - 数学/教参 - 数学/沪教版 topics: - 上海高考数学 - 教参 source: 沪教版教参必修第三册.md（原文件第 1612–2155 行） --- # 第 12 章 概率初步 > 拆分自 [[沪教版教参必修第三册]] · **第 12 章 概率初步**（原文件第 1612–2155 行）。 > 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。 ## 一、本章概述 ### 总体要求 在初中阶段, 学生已经学习了一些概率的知识, 通过日常生活中的事例, 感知不确定性事件及其可能性大小, 意识到生活中处处有概率问题, 并逐步积累了一些有关随机事件、等可能试验、概率、频率等的初步概念. 学生已经能根据经验对一些随机事件发生的可能性大小进行定性的描述, 通过大量重复的随机试验、利用频率来估计随机事件的概率, 认识频率及概率之间的区别和联系, 掌握了等可能试验中事件的概率计算公式, 会运用枚举法分析等可能性试验的所有结果, 学习了画树形图. 学生在经历解释生活实际中一些现象、体会关于概率问题的分析和思考方法、了解概率知识的一些应用之后, 已初步树立了概率意识, 为在高中阶段进一步学习概率奠定了基础. 和必然性现象一样, 随机现象同样是现实世界中大量出现的现象, 了解它的规律有着重要的理论和实际意义, 概率论就是研究随机现象所蕴藏的规律的数学理论. 为理解概率思想及古典概率模型的特征, 本章的总体编写意图是理解与思考随机现象, 分析游戏怎么变成数学、直觉怎么变成定理, 用数学的眼光观察世界; 理解概率的意义, 应用概率的语言和分析问题的思路, 用数学的语言表达世界; 掌握概率这一衡量随机事件发生可能性大小的度量, 为人们认识具有不确定性的客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法, 用数学的思维思考世界. 统计的研究对象是数据, 核心是数据分析, 概率为统计的研究及发展提供了理论基础. 本章的核心概念有: 概率 (随机现象、样本空间、基本事件、事件、随机事件、 必然事件、不可能事件), 古典概率 (等可能性、互斥事件、对立事件、可加性), 频率(伯努利试验、大数定律)和独立性(独立随机试验). 通过本章的学习, 结合具体实例, 可以帮助学生理解样本点、有限样本空间、随机事件, 会计算古典概型中简单随机事件的概率, 加深对随机现象的认识和理解. 内容包括:随机事件与概率、随机事件的独立性. (1)随机事件与概率 ① 结合具体实例, 理解样本点和样本空间的含义, 理解随机事件与样本点的关系. 了解随机事件的并、交与互斥的含义, 能结合实例进行随机事件的并、交运算. ② 结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率. ③ 通过实例, 理解概率的性质, 掌握随机事件概率的运算法则. ④ 结合实例,会用频率估计概率. (2)随机事件的独立性 结合有限样本空间, 了解两个随机事件独立性的含义. 结合古典概型, 利用独立性计算概率. ### 课时安排建议 本章的课时安排建议为 9+1,共计 10 课时. 建议如下:
章节名建议课时具体课时分配建议
12.1 随机现象与样本空间2随机现象 1 课时
样本空间与事件 1 课时
12.2 古典概率4等可能性与概率 1 课时
等可能性(续) 1 课时
事件关系和运算 1 课时
可加性 1 课时
12.3 频率与概率1频率与概率 1 课时
12.4 随机事件的独立性2独立随机事件 1 课时
事件的独立性 1 课时
复习与小结1
### 内容编排与特色 本章内容共分为四节,分别是 12.1 随机现象与样本空间、12.2 古典概率、12.3 频率与概率、 12.4 随机事件的独立性. 概率教学旨在让学生了解随机现象与概率的意义. 本章从不同的角度来理解概率. 从直观的角度看, 人们对随机性之中的可能性大小有一个心理预期, 即心理概率. 对满足有限性和等可能性的随机事件即古典概率模型给出了概率计算公式 $P\left( A\right) = \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| }$ . 独立地重复一个伯努利试验 $n$ 次,其中成功的次数 ${S}_{n}$ ,成功的频率 $\frac{{S}_{n}}{n}$ 就是经验概率. 后者是概率的频率定义, 实际上也是求一个事件的概率的基本方法: 进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 在一定条件下, 在做大量重复试验时, 随着试验次数的增加, 一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动, 显示出其稳定性. 这个固定的数就是该事件的概率, 这是概率的统计定义, 由伯努利大数定律可保证其正确性. 这样通过多角度多层次的学习, 有利于从不同的视角理解概率的意义, 感悟概率的思想. 有鉴于此, 在整个概率的教学过程中, 没有直接给出概率的公理化定义, 也没有明确从定义在事件域上的函数观点来理解和认识概率, 而是将概率空间、事件对应的子集及概率应具备的三条公理(非负性、规范性、可列可加性)分散在各节中学习,并推出了一些在计算概率时很有用的性质. 这样做, 在数学上简单易懂, 有利于将注意力集中在概率思想与体系的发展, 将直觉与理论密切结合起来, 可以凸显概率的基础知识, 逐步理解概率的思想, 培养相应的数学素养, 也为将来在大学进一步学习概率奠定一个良好的基础. 随机事件在一次试验中是否发生自然是随机的, 但随机性中仍含有规律性, 认识了这种随机性中的规律性, 就能比较准确地预测随机事件发生的可能性. 实际上, 随机事件的随机性与稳定性是偶然性与必然性的辩证统一. 本章应用概率的语言阐述问题和分析问题, 抽象出概率论固有的一些基本概念, 通过推理得到概率的基本性质, 并借用了集合论的语言和符号来表述事件的关系和运算, 逐步构建概率思想的框架. 教材重点讨论古典概率, 讲述怎么列举等可能的样本空间, 并在解决古典概型问题时,重视对古典概率模型的分析,明确概率的运算性质,使体系更加严密,凸显概率的语言和分析问题的思路; 注意较多地以经典概率问题为案例进行分析, 其中有些问题在历史上就是概率问题研究的起始, 或是大众甚至当时的数学家所困惑的, 能很好地再现概率研究的发展历程及研究方法的创新; 同时, 更加重视对概率空间的认识及理解, 重视模型的建立, 使理论更加直观, 也使学生容易正确理解. 教材对频率逼近概率的意义多做了一点解释, 引入了伯努利大数定律. 阐述了概率的频率定义、统计定义, 有利于理解概率的意义, 感悟概率的思想. 遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律, 教材力求结构严谨、说理清楚、推理严格, 符合学生的实际学习状况. 概率论中的很多术语直接使用生活中的语言, 但有其特殊的含义, 为了准确理解并掌握概率的基本概念, 教材中内容的呈现尽量从实例出发, 每节内容都从设置熟悉的情境引入, 结合具体实例, 采用娓娓道来的叙事方式,自然地展现知识与方法的产生、形成与发展的过程. 例如: (1)学习随机现象,先看几个生活中常见的例子:抛掷硬币,落地时哪一面朝上； 到达目的地的具体时间; 股市中一年的收益; 每一天的天气情况; 等等. (2)学习等可能性, 从最简单的掷硬币来学习与概率相关的概念. 抛一枚硬币这个随机试验一共有两个可能的结果: 正面朝上与反面朝上, 其中有且只有一个结果会出现. 古典概型中简单的随机事件的概率计算和性质分析, 加深了学生对随机现象的认识和理解. (3)学习独立随机试验, 从一个放了两种颜色的球的罐子里摸一个球, 放回去摇匀再摸一个球, 这两次摸球作为实验是独立的; 但若摸一个球不放回、再摸一个球, 两次摸球的结果就会有联系, 它们之间不独立. 引入集合语言通过枚举法帮助学生理解随机事件与概率、随机事件的独立性. 从抛硬币有限样本空间出发, 定义了随机事件的独立性, 并利用独立性计算概率, 等等. 这些都强调了概率与实际生活之间的紧密联系. 教材以概率初步的相关知识为主线, 凸显了知识的内在逻辑和重要的处理方法, 并强调数学与实际生活之间的紧密联系, 创设合理的教学情境, 启发学生不断深入思考, 把握概率问题的本质. 通过数学史知识的渗透, 激发学生的学习兴趣, 引导学生感悟数学的科学价值、应用价值与文化价值. 本章章首语、教材边框、课后阅读、拓展思考等栏目的设计力求信息清晰、素材广泛,渗透数学文化,促进学生的自主学习和实践能力, 有效引发思考, 并拓展视野, 在润物无声之中培育学生的思维能力与综合素质. ### 教学提示 在概率的教学中, 应引导学生通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义, 培养学生从直观现象出发去认识理论, 并学习怎么把一个实际问题数学化. 在随机事件和样本空间的教学中, 应引导学生通过古典概型认识样本空间, 理解随机事件发生的含义; 理解古典概型的特征、试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性, 知道只有在这种特征下, 才能定义古典概型中随机事件发生的概率. 教学中要适当介绍基本计数方法 (如树状图、列表等), 以计算古典概率中随机事件发生的概率. 理解独立性, 学会用独立性来计算概率. 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义, 加强与实际生活的联系, 以科学的态度评价身边的一些随机现象. 适当地增加学生间合作学习交流的机会, 尽量让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例, 并进行相互讨论, 使学生在体会概率意义的同时, 感受与他人合作的重要性以及培养实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神. 在数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算等方面落实抽象思维能力的培养, 体会几何直观之外的直观, 培养学生的核心素养. 应该注意, 在所有的概率性质中最重要的是可加性和独立性, 教师应让学生认识到事件不相交时的加法公式与事件独立时的乘积公式是概率的自然特性. 鼓励学生尽可能运用实例和实物来熟悉随机现象,也可以运用计算器、计算机进行模拟活动, 处理数据, 更好地体会概率的意义和统计思想. 例如, 利用计算器产生随机数来模拟掷硬币试验等, 利用计算机来计算样本量较大的数据的样本均值、样本方差等. ### 评价建议 在过程性评价中, 关注对基础知识、基本方法的掌握. 要能够掌握古典概率的基本特征, 根据实际问题构建概率模型, 解决简单的实际问题. 要能够借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件, 以及随机事件的概率. 在终结性评价中, 要关注理解概念、提升能力、培育素养. 要能够区别统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异. 能够结合具体问题, 理解统计推断结果的或然性, 正确运用统计结果解释实际问题. 重点提升从直观到抽象的思维能力、逻辑推理能力和数学运算素养. #### 二、教材分析与教学建议 ##### 12.1 随机现象与样本空间 ### 数学重点 (1)通过具体事例,理解随机现象的概念； (2)理解样本空间、基本事件的概念； (3)能够对具体问题写出样本空间和事件. 核心概念: 随机现象、样本空间. 核心素养:数学建模、逻辑推理. ### 内容分析 内容要求:通过具体实例,理解随机现象,理解随机试验; 会选取基本事件以构成样本空间. “随机现象与样本空间”是一节与生活实际联系紧密的概念课, 旨在在理解随机现象定义的基础上理解其核心思想一一随机思想, 有助于培养学生用一分为二、对立统一的辩证唯物主义观点分析问题和认识世界. 生活中存在着大量的随机现象, 如天气、保险、彩票等, 随机思想在当今社会中有着广泛的应用. 在我们生活的世界中, 处处充满了不确定性. 无论是自然界中的风和日丽或地震、海啸, 还是经济、 政治、社会生活中的风险与机遇,面对各种可能发生也可能不发生的事件,人们常常必须做出“选择”和“决策”,尽可能使损失减少到最小或收益达到最大. 研究随机性有助于探究大自然和生活中种种事件发生的规律,从而指导人们的生产和生活. 在概率成为普通生活常识的今天, 对随机现象有一个较清楚的认识, 是每一个公民文化素质的基本要求. 用数学方法研究这些不确定现象(通常称为随机现象)是概率论的任务. 随机现象表面上看来似乎杂乱无章, 但有一定的规律可循. 随机现象揭示的是条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用确定的函数关系描述. 在一次观察中随机现象的结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 结果具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象所具有的本质规律的一门数学学科. 随机现象是通过试验来研究的. 对随机现象进行观察或为了某种目的而进行的实验统称为试验, 把观察结果或实验结果称为试验结果. 对于随机现象, 当在相同的条件下重复进行试验时, 尽管不能预知每次试验的具体结果, 但这个试验的所有可能结果往往是可知的. 例如, 抛掷一枚骰子做试验, 观察骰子掷出的点数, 共有 6 种可能的结果: 点数为1,2,3,4,5,6,但在每次抛掷之前,并不能确定骰子最终掷出的点数. 随机事件就是在某种条件 $S$ 下,不能事先预测结果的事件. 当条件 $S$ 改变时,事件的性质也可能发生变化, 结果也会因此改变. 在判断事件类型时, 一定要明确前提条件 $S$ ,它决定着事件的属性,没有这个条件就无法判断一个事件是否发生. 例如, “常温常压下,水沸腾”是不可能事件,但“100℃常压下,水沸腾”就成为必然事件了. 有时结果比较复杂, 要准确理解结果所包含的各种情况. 对于同一个随机现象, 由于观察结果的角度不同, 样本空间也可以不同, 如例 4. 把事件与集合相类比, 将样本空间看成全集, 每个事件都可以看成该全集的一个子集, 这样, 就可以将事件与集合对应起来. 借用已有集合的知识和语言, 有利于对概念的理解和掌握. 在学习概率的时候, 要注意体会和熟悉其独特的语言表述方式. ### 注意事项 概率是描述一个随机现象中某事件发生的可能性(或者机会)大小的一种度量. 要理解概率, 首先要理解随机现象或者随机性, 其次要理解人们对随机性之中可能性大小的预期. 学习概率论, 要学会概率论的一套语言. 由于概率论中的很多术语直接借用生活中的语言, 要格外注意它们在概率论与生活中使用时的语义区别, 其中最重要的三个术语是样本空间、事件与概率. ### 教学建议 为确定样本空间, 必须明确事件发生的条件, 根据题意, 按一定的次序列出问题的答案, 按规律去写, 要做到既不重复也不遗漏. 教学中要注意通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念. 求基本事件个数主要是采用枚举法, 通过列表和画出树状图等方式写出所有的基本事件, 化解由于还没有学习排列组合所引起的困惑. 重点在于培养学生的数学应用意识. 列表法: 将基本事件用表格的方式表示出来, 可以清楚基本事件的总数, 以及要求的事件所包含的基本事件数. 列表法适合较简单的试验, 基本事件较多的试验不适合用列表法. 树状图法: 树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法. 树状图法便于分析基本事件间的结构关系, 对于较复杂的问题, 可以作为一种分析问题的主要手段. 树状图法适合于较复杂的试验的题目. 注意, 对于一个随机现象来说, 有以下三点值得注意: (1)样本空间可能因为观察角度的不同而不同,不同的观察角度导致不同的答案, 不能算作错误; (2)事件的概率由随机现象本身决定,不会因为样本空间的不同而不同； (3)基本事件(样本点)是样本空间的元素,而事件是样本空间的子集. #### 12.2 古典概率 ### 教学重点 (1)理解组成古典概率模型的两个基本条件; (2)掌握互斥事件、对立事件的概念； (3)通过具体实例,理解概率的意义； (4)掌握并应用概率的基本性质及运算法则； (5)通过事件关系和运算,计算古典概型中简单随机事件的概率. 核心概念: 古典概率、等可能性、事件关系. 核心素养:数学建模、数学运算. ### 内容分析 内容要求:通过对古典概率模型的分析,应用概率的语言和分析问题的思路,学习求解基本概率问题. 在现实生活中, 我们常听到“概率”这个词. 例如, 买彩票时, 总关心中奖的概率有多大; 正规的足球比赛, 为了体现比赛的公平性, 比赛前主裁判往往以抛硬币的方式, 根据正反面来确定参赛球队的进攻方向, 这些都和概率有关. 那么, 什么是概率呢? 怎么求得概率的大小呢? 知道概率的大小又有什么意义呢? 若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样, 则称之为具有等可能性, 它在许多场合下是直观自然的. 如果一个随机试验满足下面两个条件: (1)包含有限个可能出现的结果(基本事件); (2)这些结果出现是等可能的, 那么这样的随机试验就称为古典概率模型. 古典概型是一种特殊的数学模型, 也是一种最基本的概率模型, 在概率论中占有相当重要的地位. 古典概型的引入避免了大量的重复实验, 而且可得到概率的准确值, 学好它可以为学习其他概率奠定基础, 同时有利于理解概率的概念, 有助于计算一些事件的概率, 有利于解释生活中的一些问题, 起到承前启后的作用. 本节课将感性认识与理性认识相结合, 利用生活中大量实例归纳总结相关的数学概念及计算公式, 用系统的眼光看待以前已经接触的一些知识, 构建相应的数学模型. 判断一个随机试验是否为古典概型, 要看这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性, 二者缺一不可. 例如, 在适宜的条件下种下一粒种子, 观察它是否发芽. 这个试验的基本事件只有两个: 发芽、不发芽. 而“发芽”和“不发芽” 这两种结果出现的机会一般是不均等的, 所以它不属于古典概型. 又如, 从质量为 ${2500}\mathrm{\;g} \pm {25}\mathrm{\;g}$ 的一批袋装大米中任意抽取一袋,设其质量 $M, M$ 的值可能是从 2475g到 2525g之间的任何一个值, 所有可能的结果有无限多个, 这个试验也不属于古典概型. 判断事件间的关系时, 可以根据常识来判断. 一要考虑试验的前提条件, 无论是包含、相等还是互斥、对立, 其发生的条件都应是一样的. 二要考虑事件间的结果是否有交事件,可利用维恩图分析. 对较难判断的,就得严格按照事件之间关系的定义来推理, 也可先列出全部结果, 再进行分析. 进行事件的运算时, 一要紧扣运算的定义, 二要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果, 必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析. 互斥事件的概率加法公式 $P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right)$ 是一个非常重要的公式,运用该公式解题时, 首先要分清事件是否互斥, 同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件, 求出各个事件的概率, 再用加法公式得出结果. 当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时, 可先计算其对立事件的个数, 求得对立事件的概率, 然后利用对立事件的概率的加法公式 $P\left( A\right) + P\left( \bar{A}\right) = 1$ ,求出符合条件的事件的概率. 概率的基本性质: (1)必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0,即 $P\left( \Omega \right) = 1, P\left( \varnothing \right) = 0$ ； (2)对于随机事件 $A$ ,有 $0 \leq P\left( A\right) \leq 1$ ； (3)两个不可能同时发生的事件中至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和,即如果 $A \cap B = \varnothing$ ,那么 $P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right)$ ; (4)对任一给定的随机事件,其发生的概率与不发生的概率的和总是 1 ,即成立 $P\left( A\right) + P\left( \bar{A}\right) = 1.$ ### 注意事项 再次强调, 随机现象的样本空间的选取依赖于观察的角度, 但事件的概率与观察角度这一主观因素无关, 是确定唯一的. 在古典概率模型中, 随着观察角度的不同, 并非所有观察角度所引导的样本空间都有等可能性. 对复杂的随机试验, 为了得到一个等可能的样本空间, 通常要将一个随机试验依次分解为若干个等可能的随机试验来处理. 注意, 只有那些能够选取到有限的等可能样本空间的随机现象才称为古典概率模型. 这时, 为了计算方便, 我们总是选一个这样的样本空间. 解古典概型问题时, 要牢牢抓住它的两个特点及其计算公式. 但是这类问题的解法多样, 技巧性强, 在解决此类问题时需要注意以下三点: (1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性； (2)计算基本事件的数目时,需做到不重不漏； (3)利用事件间的关系. 在求解较复杂事件的概率时, 可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件, 由公式 $$ P\left( {{A}_{1} \cup {A}_{2} \cup \cdots \cup {A}_{n}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {A}_{2}\right) + \cdots + P\left( {A}_{n}\right) $$ 求得,或转化为求其对立事件,再用公式 $P\left( A\right) = 1 - P\left( \bar{A}\right)$ 求得. 解决有序和无序的问题时应注意:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,不论看做是有顺序的或是无顺序的, 最后结果都是一致的. 但不论选择哪一种方式, 观察的角度必须一致,否则会产生错误. 关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以 $\left( {a, b}\right) \text{、}\left( {b, a}\right)$ 不是同一个基本事件. 解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. ### 教学建议 本节内容的学习加深了学生对随机现象的理解. 注意, 应该让学生明白概率论能做什么和不能做什么. 概率论不可能确切地告诉我们一个随机事件会不会发生, 而只能告诉我们该事件发生的可能性有多大. 两者有着巨大的差别. 概率是定义在集合上的函数, 每一个随机事件都对应着一个确定的概率值, 这与函数概念中的对应关系是类似的. 可以类比函数性质的研究过程来学习概率的性质. #### 12.3 频率与概率 ### 教学重点 (1)结合实例,理解频率的意义,会用频率估计概率； (2)了解伯努利大数定律的意义. 核心概念: 频率、伯努利大数定律. 核心素养:数据分析. ### 内容分析 内容要求:理解概率的统计意义,了解伯努利大数定律. 独立地重复一个伯努利试验 $n$ 次,如果成功的次数为 ${S}_{n}$ ,那么成功的频率为 $\frac{{S}_{n}}{n}$ . 这是经验概率,是概率的频率定义,但频数 ${S}_{n}$ 与 $n$ 之间并无一个确定的函数关系. 在一定条件下,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率 $\frac{{S}_{n}}{n}$ 总在一个固定数的附近摆动, 显示出其稳定性, 这个固定数就是该事件的概率, 这是概率的统计定义. 但频数 ${S}_{n}$ 不是 $n$ 的具确定性的函数关系,频率 $\frac{{S}_{n}}{n}$ 仍然是不确定的, 具有随机性. 伯努利大数定律可以通俗地理解为: 具体来说,当 $n$ 充分大时,频率 $\frac{{S}_{n}}{n}$ 与概率 $p$ 任意接近的概率为 1 . 伯努利大数定律告诉我们: 在 $n$ 重伯努利试验中,如果事件 $A$ 发生的次数为 ${S}_{n}$ ,而事件 $A$ 在每次试验中发生的概率为 $p$ ,那么对任意给定且充分小的 $\varepsilon > 0$ ,概率 $P\left( {\left| {\frac{{S}_{n}}{n} - p}\right| < \varepsilon }\right)$ 当 $n \rightarrow + \infty$ 时越来越接近 1 . 一般地说,在大量重复进行同一试验时,如果事件 $A$ 发生的频率总是接近于某个常数,在其附近摆动,那么这个常数就叫做事件 $A$ 的概率,记作 $P\left( A\right)$ . 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小: 概率越大, 表明事件发生的频率越大, 即发生的可能性越大; 概率越小, 其发生的可能性也越小. 应该注意: 概率是事件的本质属性, 是一个确定的数, 是客观存在的, 它与每次试验无关, 不随试验次数变化, 是频率的一个稳定值. 而频率则是概率的近似值, 它也反映了事件发生可能性的大小, 但只提供了一种“可能性”, 并不是精确值. 频率本身是随机的, 在试验前不能确定, 做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都有可能不同. 概率体现了随机事件发生的可能性, 在现实生活中可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生, 从而作出相应的决策. 在一个随机事件的概率未知时, 可用样本出现的频率去近似估计该事件发生的概率. 通过对概率知识的学习, 可以知道一个随机事件的发生既有随机性 (对单次试验来说), 又存在着统计规律性 (对大量重复试验来说), 这说明了偶然性中有必然性, 体现了事物之间既对立又统一的辨证唯物主义思想. ### 注意事项 鼓励学生结合日常生活中的实例, 动手试验, 正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,尝试澄清一些日常生活的错误认识. 概率是随机事件 $A$ 发生可能性大小的度量值, 是客观存在的, 而随机试验是在相同条件下可独立重复进行的. 在具体情境中, 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别: 概率是频率的稳定值而非极限值. 频率与概率的关系:
区别联系
频率本身是随机的, 在试验之前无法确定, 大多会随着试验次数的改变而改变. 做同样次数的重复试验, 得到的频率值也可能会不同.频率是概率的近似值, 随着试验次数的增加, 频率会越来越接近概率. 在实际问题中, 事件的概率通常是未知的, 常可用频率估计概率.
概率一个属于 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 的确定值,不随试验结果的改变而改变.
### 教学建议 理解概率的意义. 概率是随机事件发生可能性大小的度量, 是随机事件的本质属性,随机事件 $A$ 发生的概率是大量重复试验中事件 $A$ 发生的频率的近似值. 由概率的定义可以知道,随机事件 $A$ 在一次试验中是否发生是随机的,但随机中含有规律性, 而概率就是其规律性在数量上的反映. 要清楚概率与频率的区别与联系. 对具体的问题, 不能局限于某一次试验或某一个具体的事件, 要从全局和整体上去看待. 通过数学试验对概率进行研究, 就是利用频率估计概率. 当试验次数较大时, 频率渐趋稳定的那个常数就叫概率. 通过对实例的剖析, 体会生活中我们利用事件发生的频率估计概率的实践经验, 可以了解虽然随机事件在一次试验中其发生与否不可确定, 但是在大量重复试验的情况下其频率值会存在一定的规律性, 会接近于一个常数, 即此随机现象的概率. 可体会偶然性与必然性之间的联系, 体会现象与本质的关系. 事实上, 一个个现象背后往往隐藏着重要的规律, 可体会规律的客观存在性, 体会数学源于生活又可应用于生活, 体会概率对于我们在生产生活中做出正确决策的重要性. 教师应该对学生强调,大数定律反映了概率作为可能性大小的实际意义. 但是, 它的成立需要一个条件, 即随机现象可以重复做很多次, 如掷硬币. 实践中还有很多随机现象是不能够重复的, 如某地地震、某人得某种罕见的疾病等, 这时概率的实际意义就不存在了. #### 12.4 随机事件的独立性 ### 教学重点 (1)通过具体事例,理解随机事件独立性的含义； (2)结合古典概型,利用独立性计算概率. 核心概念: 独立随机试验、独立事件. 核心素养:数学建模、数据分析、逻辑推理. ### 内容分析 内容要求:掌握独立事件的条件,进一步应用事件关系和运算,提高解决复杂概率问题的能力. 独立随机试验. 从一个放了两种颜色的球的罐子里摸一个球, 放回去摇匀再摸一个球, 这两次摸球作为试验是独立的; 相反, 若摸一个球后不放回, 再摸一个球, 两次摸球的结果之间就会有联系, 它们不独立. 独立重复试验, 是在同样条件下进行的、各次之间相互独立的一种试验. 特点:(1)是在同样条件下重复地进行的一种试验； (2)各次试验之间相互独立,即结果互相之间没有影响； (3)每一次试验只有两种结果,即某事要么发生,要么不发生,且在任意一次试验中发生的概率都是一样的. 直观地,如果随机事件 $A$ 发生与否和事件 $B$ 发生与否互相之间没有影响,那么称事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立,即一个事件的发生并不影响另一个事件的发生. 事件的独立性是概率中一个重要概念, 在实际应用中通常是靠直观和实践经验, 对事件的本质加以分析来进行判断. 两个事件 $A$ 与 $B$ 相互独立的充分必要条件是它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积,即 $P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)$ . 例 2 给出了随机事件独立性的一个重要性质: 若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,则 $A$ 与 $\bar{B}\text{、}\bar{A}$ 与 $B$ ,以及 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立. 必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\varnothing$ 与任何事件都是相互独立的. ### 注意事项 对于复杂的试验, 判断两个事件是否相互独立需要特别谨慎. 例如, 甲、乙两地的气象情况可能存在某些内在联系, 就不一定相互独立. 对于这类复杂的问题要依靠统计资料进行分析, 看是否符合事件独立性的条件. 三个事件相互独立. 设 $A\text{、}B\text{、}C$ 为三个随机事件,如果满足等式 $$ \left\{ \begin{array}{l} P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) , \\ P\left( {A \cap C}\right) = P\left( A\right) P\left( C\right) , \\ P\left( {B \cap C}\right) = P\left( B\right) P\left( C\right) , \\ P\left( {A \cap B \cap C}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) P\left( C\right) , \end{array}\right. $$ 那么称事件 $A\text{、}B\text{、}C$ 相互独立. 类似地,可以给出 $n$ 个事件相互独立的定义. 如果事件 ${A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}$ 相互独立,那么这 $n$ 个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积, 即成立 $$ P\left( {{A}_{1} \cap {A}_{2} \cap \cdots \cap {A}_{n}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) P\left( {A}_{2}\right) \cdots P\left( {A}_{n}\right) , $$ 且上式中任一个事件 ${A}_{i}$ 换成其对立事件后等式仍然成立. ### 教学建议 事件的独立性是概率中的一个重要概念, 通常靠直观和实践经验就可以做出判断,见例 1; 可通过实例感受两个事件相互独立的概念,见例 4; 也要重视由例 2 给出的随机事件独立性的一个重要性质, 并且理解其应用, 见例 5、例 6. 注意, 本教材中并没有明确给出随机现象独立性的概念, 但是教师如果通过随机现象独立性来解释事件的独立性, 可能更加直观. 实际上, 古典概率模型中的独立性基本上是指随机现象的独立性. 例 6 最终解决了本章第一节提出的两位法国数学家费马和帕斯卡于 1654 年对赌徒提出的分奖金问题的通信讨论, 这是概率论研究的起源问题. #### 三、参考答案或提示 ##### 12.1 随机现象与样本空间 ### 练习 12.1(1) 1. (1)确定性现象. (2)随机现象. (3)确定性现象. (4)随机现象. 确定性现象:铁块扔水池中会下沉；冬天的平均气温低于夏天的平均气温. 随机现象: 小汽车老化发生自燃; 明天数学考试李明得第一名. 2.(1)冬天存在下雪的可能性,本身就具有随机性. 而今年冬天是否下雪更无法预知,具有随机性. (2)参加高考能否正常发挥或者超水平发挥是无法事先预知的, 具有随机性. 练习 12.1(2) 1.(1) $\Omega = \{ {HHH},{THH},{HTH},{HHT},{HTT},{THT},{TTH},{TTT}\}$ ,共 8 个元素. (2)设三个小球分别用标号 $1\text{、}2\text{、}3$ 表示,三个容器分别用 $A\text{、}B\text{、}C$ 表示, 如果放置的结果是 1 号球在 $A$ 容器、 2 号球在 $B$ 容器、 3 号球在 $C$ 容器,那么用 123 来表示, 其他类似. $$ \Omega = \{ {123},{132},{213},{231},{312},{321}\} \text{,共 6 个元素.} $$ 2. 样本空间 $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$ . (1) $A = \{ 2,3,4,5,6\}$ . (2) $B = \{ 1,3,5\}$ . (3) $C = \{ 3,4,5,6\}$ . 3. 设两个男生分别用 $A\text{、}B$ 表示,女生分别用 $C\text{、}D$ 表示. (1) $\left\{ {{AB},{AC},{AD},{BC},{BD},{CD}}\right\}$ . (2) $\{ {AC},{AD},{BC},{BD}\}$ . 习题 12.1 A 组 (2)随机事件. (3)随机事件. 2.(1)错误. 出现全部正面向上是一个随机现象. (2)错误. 至少 1 枚正面向上是一个随机现象. (3)正确. 这是一个随机现象. 3. $\Omega = \{$ 红白,红黑,白黑 $\}$ . 4. D. B 组 1.(1)(2)是不确定的事件. 2. 样本空间 $\Omega = \{$ 白黑,白红,黑黑,黑红,红红 $\}$ . (1)\{白黑,白红\}. (2)\{白黑,黑黑,黑红\}. 3. 设两个男生分别用 $A\text{、}B$ 表示,女生分别用 $C\text{、}D$ 表示. (1) $\Omega = \{ {ABCD},{ABDC},{ACBD},{ACDB},{ADBC},{ADCB},{BACD},{BADC},{BCDA}$ , ${BCAD},{BDAC},{BDCA},{CABD},{CADB},{CBAD},{CBDA},{CDAB},{CDBA},{DABC}$ , ${DACB},{DBAC},{DBCA},{DCAB},{DCBA}\}$ ,共 24 个元素. $\;\left( 2\right) \;\{ {ACBD},{ADBC}$ , ${CADB},{DACB},{BCAD},{BDAC},{CBDA},{DBCA}\}$ ,共 8 个元素. $\;\left( 3\right) \{ {ACBD}$ , ${ADBC},{CADB},{DACB},{ACDB},{ADCB},{CABD},{DABC},{BCAD},{BDAC},{CBDA}$ , ${DBCA},{BCDA},{BDCA},{CBAD},{DBAC}\}$ ,共 16 个元素. #### 12.2 古典概率 练习 $\mathbf{{12}.2\left( 1\right) }$ 1. (1) $\frac{5}{36}$ . (2) $\frac{5}{12}$ . 2. (1) $\frac{3}{8}$ . (2) $\frac{1}{2}$ ### 练习 $\mathbf{{12}.2\left( 2\right) }$ 1. 点数之和为 7 的概率最大,等于 $\frac{1}{6}$ . 2. $P\left( {A}_{0}\right) = \frac{1}{3}, P\left( {A}_{1}\right) = \frac{1}{2}, P\left( {A}_{2}\right) = 0, P\left( {A}_{3}\right) = \frac{1}{6}$ . 练习 $\mathbf{{12.2}\left( 3\right) }$ 1. $A = \{ \left( {1,2}\right) ,\left( {1,4}\right) ,\left( {1,6}\right) ,\left( {2,1}\right) ,\left( {2,2}\right) ,\left( {2,3}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {2,5}\right) ,\left( {2,6}\right) ,\left( {3,2}\right)$ , $\left( {3,4}\right) ,\left( {3,6}\right) ,\left( {4,1}\right) ,\left( {4,2}\right) ,\left( {4,3}\right) ,\left( {4,4}\right) ,\left( {4,5}\right) ,\left( {4,6}\right) ,\left( {5,2}\right) ,\left( {5,4}\right) ,\left( {5,6}\right) ,\left( {6,1}\right) , \; \left( {6,2}\right) ,\left( {6,3}\right) ,\left( {6,4}\right) ,\left( {6,5}\right) ,\left( {6,6}\right) \}$ ; $B = \{ \left( {1,1}\right) ,\left( {1,3}\right) ,\left( {1,5}\right) ,\left( {2,2}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {2,6}\right) ,\left( {3,1}\right) ,\left( {3,3}\right) ,\left( {3,5}\right) ,\left( {4,2}\right) , \; \left( {4,4}\right) ,\left( {4,6}\right) ,\left( {5,1}\right) ,\left( {5,3}\right) ,\left( {5,5}\right) ,\left( {6,2}\right) ,\left( {6,4}\right) ,\left( {6,6}\right) \}$ ; $A \cup B = \Omega , A \cap B = \{ \left( {2,2}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {2,6}\right) ,\left( {4,2}\right) ,\left( {4,4}\right) ,\left( {4,6}\right) ,\left( {6,2}\right) ,\left( {6,4}\right) , \; \left( {6,6}\right) \}$ . 2. $\left( 1\right) A \cup B = \{ 2,3,4,6,8,9,{10}\} .\;\left( 2\right) A \cap B = \{ 6\}$ . ### 练习 $\mathbf{{12}.2\left( 4\right) }$ 1. 证明: 因为 $A\text{、}B\text{、}C$ 是两两不同时发生的事件,所以 $\left| {A \cup B \cup C}\right| = \left| A\right| + \; \left| B\right| + \left| C\right|$ ,因此 $P\left( {A \cup B \cup C}\right) = \frac{\left| A \cup B \cup C\right| }{\left| \Omega \right| } = \frac{\left| A\right| + \left| B\right| + \left| C\right| }{\left| \Omega \right| } = P\left( A\right) + P\left( B\right) + \; P\left( C\right)$ . 2. 证明: $\left( {A \cap \bar{B}}\right) \cap \left( {A \cap B}\right) = A \cap \left( {\bar{B} \cap B}\right) = A \cap \varnothing = \varnothing$ , $\left( {A \cap \bar{B}}\right) \cup \left( {A \cap B}\right) = A \cap \left( {\bar{B} \cup B}\right) = A \cap \Omega = A,$ 所以 $P\left( A\right) = P\left( {A \cap \bar{B}}\right) + P\left( {A \cap B}\right)$ ,即 $P\left( {A \cap \bar{B}}\right) = P\left( A\right) - P\left( {A \cap B}\right)$ . 3.0.9. 习题 12.2 A 组 1. $\frac{1}{10}$ . 2. D. 3. (1) $\{ 5,7,9\}$ . (2) $\{ 0,2,4,5,6,7,8,9\}$ . (3) $\varnothing$ . 4. B. 5. 0.10. 6. $\frac{4}{5}$ . B 组 1. 无放回抽取是一个等可能事件,所以这四名学生的中奖概率都为 $\frac{1}{4}$ . 2. (1) $\frac{3}{5}$ . (2) $\frac{3}{10}$ . 3. (1) $\frac{1}{2}$ . (2) $\frac{1}{6}$ . (3) $\frac{1}{2}$ . 4. $P\left( {A \cup B}\right) = 1 - P\left( \overline{A \cup B}\right) = 1 - P\left( {\bar{A} \cap \bar{B}}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ , 又 $P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) = \frac{3}{2}P\left( A\right)$ ,所以 $P\left( A\right) = \frac{2}{5}, P\left( \bar{A}\right) = \frac{3}{5}$ . 5. 设事件 $A\text{、}B\text{、}C\text{、}D$ 分别表示取得红球、黑球、黄球、绿球, $A\text{、}B\text{、}C\text{、}D$ 两两为互斥事件,那么 $P\left( A\right) = \frac{1}{3}, P\left( {B \cup C}\right) = P\left( B\right) + P\left( C\right) = \frac{5}{12}, P\left( {C \cup D}\right) = \; P\left( C\right) + P\left( D\right) = \frac{5}{12}$ ,又 $P\left( A\right) + P\left( B\right) + P\left( C\right) + P\left( D\right) = 1$ ,得 $P\left( B\right) = \frac{1}{4}, P\left( C\right) = \; \frac{1}{6}, P\left( D\right) = \frac{1}{4}.$ #### 12.3 频率与概率 ### 练习 12.3 1. 略. 2. (1) $\frac{{36} + {20}}{98} = \frac{4}{7}$ . (2) $\frac{9 + 3 + 1}{98} = \frac{13}{98} \approx {0.13}$ . 3. $\widehat{P}\left( A\right) = \frac{15}{1000}$ . 设水库中有鱼 $n$ 条,那么 $\frac{1000}{n} = \frac{15}{1000}$ ,得 $n \approx {66667}$ 条. 习题 12.3 A 组 1. $\frac{3}{100}$ . 2. (1) $\frac{3}{4}$ . (2) 15 个. ### B 组 1.(1)设事件 $A$ 表示:取出的两球颜色相同,事件 $B$ 表示:取出的两球颜色不同,则 $A$ 与 $B$ 是对立事件,那么 $P\left( A\right) = \frac{3 \times 2 + 3 \times 2}{9 \times 6} = \frac{2}{9}$ ,所以 $P\left( B\right) = \frac{7}{9}$ . (2)用计算器产生1,2,3和2,3,4的两组随机数,每组各有 $N$ 个随机数. 设 1 表示取得红球、2 表示取得黑球、3 表示取得白球、4 表示取得黄球; 统计两组对应的 $N$ 对随机数中,每对中的两个数字不同的对数 $n$ ; 计算 $\frac{n}{N}$ 的值,并以此作为取出的两个球颜色不同的经验概率. #### 12.4 随机事件的独立性 练习 $\mathbf{{12.4}}\left( \mathbf{1}\right)$ 1. (1) $\frac{1}{4}$ . (2) $\frac{1}{2}$ . 2.0.18, 0.12. 练习 12.4(2) 1. (1)用 $A$ 表示事件“两颗骰子的点数和为 7”, $B$ 表示事件“白色骰子的点数为 1”,则 $P\left( A\right) = \frac{6}{6 \times 6} = \frac{1}{6}, P\left( B\right) = \frac{6}{6 \times 6} = \frac{1}{6}, P\left( {AB}\right) = \frac{1}{6 \times 6} = \frac{1}{36} = P\left( A\right) P\left( B\right)$ ,所以事件 $A$ 与 $B$ 是独立的. ( 2 )略. 2. (1) ${pq}$ . (2) $\left( {1 - p}\right) \left( {1 - q}\right)$ . (3) $1 - \left( {1 - p}\right) \left( {1 - q}\right) = p + q - {pq}$ . (4) $p\left( {1 - q}\right) + q\left( {1 - p}\right) + \left( {1 - p}\right) \left( {1 - q}\right) = 1 - {pq}$ . 3. 用事件 $A$ 表示: $A$ 最终获胜；事件 ${A}_{1}$ 表示:接下去第一局 $A$ 胜；事件 ${A}_{2}$ 表示: 接下去第二局 $A$ 胜. 因为 $A$ 已经胜两局,由五局三胜的规则, $A$ 最终获胜当且仅当 $A$ 再胜一局. $A = {A}_{1} \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap {A}_{2}}\right)$ ,所以 $P\left( A\right) = \frac{3}{4}, B$ 最终获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ,因此 $A\text{、}B$ 两人应按 3 :1 来分奖金. 习题 12.4 A 组 1. $\frac{3}{4}$ . 2. (1) $\frac{1}{3}$ . (2) $\frac{1}{4}$ . 3. C. B 组 1. (1) $\frac{5}{6}$ . (2) $\frac{1}{6}$ . (3) $\frac{2}{3}$ . (4) $\frac{1}{2}$ . 2. (1) $P\left( A\right) = 1 - \left( {1 - {0.95}}\right) \left( {1 - {0.9}}\right) = {0.995}$ . (2) $P\left( B\right) = {0.95}\left( {1 - {0.9}}\right) =$ 0.095 . 3.(1)用事件 $A$ 表示: $A$ 最终获胜；事件 ${A}_{1}$ 表示:接下去第一局 $A$ 胜； 事件 ${A}_{2}$ 表示: 接下去第二局 $A$ 胜; 事件 ${A}_{3}$ 表示: 接下去第三局 $A$ 胜. 因为 $A$ 已经胜两局,由五局三胜的规则, $A$ 最终获胜当且仅当 $A$ 再胜一局. $A = {A}_{1} \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap {A}_{2}}\right) \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap \overline{{A}_{2}} \cup {A}_{3}}\right)$ ,所以 $P\left( A\right) = \frac{7}{8}, B$ 最终获胜的概率为 $\frac{1}{8}$ , 因此 $A\text{、}B$ 两人应按 $7 : 1$ 来分奖金. (3)用事件 $A$ 表示: $A$ 最终获胜；事件 ${A}_{1}$ 表示:接下去第一局 $A$ 胜； 事件 ${A}_{2}$ 表示: 接下去第二局 $A$ 胜; 事件 ${A}_{3}$ 表示: 接下去第三局 $A$ 胜; 事件 ${A}_{4}$ 表示: 接下去第四局 $A$ 胜. 因为 $A$ 已经胜第一局,由五局三胜的规则, $A$ 最终获胜当且仅当 $A$ 再胜两局. $$ A = \left( {{A}_{1} \cap {A}_{2}}\right) \cup \left( {{A}_{1} \cap \overline{{A}_{2}} \cap {A}_{3}}\right) \cup \left( {{A}_{1} \cap \overline{{A}_{2}} \cap \overline{{A}_{3}} \cap {A}_{4}}\right) \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap {A}_{2} \cap {A}_{3}}\right) $$ $$ \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap {A}_{2} \cap \overline{{A}_{3}} \cap {A}_{4}}\right) \cup \left( {\overline{{A}_{1}} \cap \overline{{A}_{2}} \cap {A}_{3} \cap {A}_{4}}\right) , $$ 所以 $P\left( A\right) = \frac{11}{16}, B$ 最终获胜的概率为 $\frac{5}{16}$ ,因此 $A\text{、}B$ 两人应按 ${11} : 5$ 来分奖金. ### 复习题 A 组 1. $\frac{2}{5}$ . 2. $\frac{3}{10}$ . 3. $\frac{2}{3}$ . 4. $\frac{3}{5}$ . 5. $\frac{3}{10}$ . 6.(1)设3个白球分别为 $a, b, c,2$ 个黑球分别为 $d, e,\Omega = \{ {ab},{ac},{ad},{ae}$ , ${bc},{bd},{be},{cd},{ce},{de}\} .$ (2) $\frac{3}{10}$ . (3) $\frac{3}{5}$ . 7. 0.95 . 8. (1) 0.60 . (2) 0.78 . (3) 0.22 . B 组 1. $\frac{9}{16}$ . 2. $\frac{2}{3}$ . 3. (1) $\frac{1}{2}$ . ### 拓展与思考 1. 掷硬币出现正面的概率为 $\frac{1}{2}$ ,大约有 100 人回答了第一个问题; 又摸得白球的概率为 $\frac{1}{2}$ ,所以在回答第一个问题的 100 人中大约有 50 人回答“是”,因此 6 人回答 “是”的人服用过兴奋剂. $\widehat{P}\left( A\right) = \frac{6}{100} = 6\%$ . 2. 如果 $A\text{、}B\text{、}C$ 三人答对的题目不重复,即彼此互斥,那么 $P\left( {A \cup B \cup C}\right) = \; P\left( A\right) + P\left( B\right) + P\left( C\right) = \frac{47}{60} > P\left( D\right) = \frac{2}{3}$ ,所以 $A\text{、}B\text{、}C$ 三人组队胜. 如果 $A\text{、}B\text{、}C$ 三人答对的题目有重复,那么三人组队未必能胜.